Halaman
73Pangkat Tak SebenarnyaDi Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat positif. Padabab ini, materi tersebut akan dibahas lebih dalam dan dikembangkansampai dengan bilangan berpangkat negatif, nol, dan pecahan.Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan bilangan berpangkatbanyak digunakan. Contohnya sebagai berikut. Frekuensi gelombang televisi 1056putaran per detik. Jika besar frekuensi sinar X 10.000kali frekuensi gelombang televisi, berapa besar frekuensisinar X ?Untuk menjawabnya, kamu dapat menggunakan alat pengukurbesar frekuensi suatu gelombang, yaitu osiloskop. Secara matematis,besar frekuensi sinar X dapat ditentukan menggunakan sifat perkalianbilangan berpangkat yang akan dibahas pada bab ini. Oleh karena itu,pelajarilah bab ini dengan baik.A.BilanganBerpangkatBulatB.Bentuk AkardanPangkatPecahan5BabangkatTakTTSebenarnya5BabSumber:www.h5.dion.ne.jp
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX745.1Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.A. Bilangan Berpangkat BulatDi Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat bulat positif. Sekarang, materi tersebut akan dikembangkan sampai bilangan berpangkat bulat negatif dan nol.1. Bilangan Berpangkat Bulat PositifKetika mempelajari operasi perkalian, kamu pasti pernah menemukan bentuk-bentuk perkalian seperti berikut.7 × 7,5 × 5 × 5,(–4) × (–4) × (–4) × (–4),(0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5), dan lain-lain.Bentuk-bentuk perkalian berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat.7 × 7 ditulis 72 dibaca tujuh pangkat dua atau tujuh kuadrat.5 × 5 × 5 ditulis 53 dibaca lima pangkat tiga.(–4) × (–4) × (–4) × (–4) ditulis (–4)4 dibaca negatif empat pangkat empat.(0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) ditulis (0,5)5 dibaca nol koma lima pangkat lima. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang dan memperjelas definisi bilangan berpangkat berikut.Jika aR∋ (bilangan real) dan n adalah bilangan bulat maka bilangan an (dibaca apangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (faktor).aaa ann=×××... faktoran disebut bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok, dan n disebut pangkat (eksponen).1. Tentukan nilai p.a. 2 + (–5) = p b. –4 – p = –2 c. p + 8 = 102. Tuliskan dalam bentuk pangkat.a. 2 × 2 × 2b. (–5) × (–5) c. q × q × q × q3. Tentukan nilai dari: a. 32 b. 43 c. (–2)44. Tentukan nilai dari: a. 22 + 23 b. 32 – (–2)2 c. 52 + 435. Tentukan nilai dari: a. 36 b. 100 c. 643Uji Kompetensi Awal
Pangkat Tak Sebenarnya75Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah.a. 25d. (0,5)4b. (–3)2e. (–4)3Jawab:a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32b. (–3)2 = (–3) × (–3) = 9c. (0,5)4 = (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) = 0,0625d. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64Sebuah kubus panjang rusuknya 8 cm. Tentukan volume kubus tersebut.Jawab :Diketahui : sebuah kubus dengan panjang rusuk (r) = 8 cm.Ditanyakan: volume kubus Penyelesaian:V = r3 = (8 cm)3 = 8 cm × 8 cm × 8 cm = 512 cm3Jadi, volume kubus 512 cm3anbilangaanbilangaContohSoal5.1kbContohSoal5.22. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkata. Sifat Perkalian Bilangan BerpangkatSifat perkalian bilangan berpangkat telah kamu pelajari di Kelas VII. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata-katamu sendiri.Misalnya, 4 444 44423×= × × ××()(2 faktor3 faktor)() = ××××+444442 3 faktor==+44235Jadi , 42 × 43 = 42+ 3 = 45.Untuk perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, berlaku sifat berikutamxan= am + ndengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.Sifat5.1Perhitungan bilangan berpangkat dapat dilakukan dengan menggunakan Misalnya, kamu diminta untuk menghitung 24. Untuk menjawabnya, tekan tombol 2xywabnyawabnyay4a,tenya= pada kalkulator. Hasil yang akan kamu peroleh pada layar adalah 16.ganSudut Tekno{{{
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX76Sederhanakan bentuk-bentuk perkalian berikut.a. 63 × 64c. 52 × 33 × 2b. (–4) × (–4)2d. 7a3 × b4 × 3a2 × bJawab:a. 63 × 64 = 63 + 4 = 67b. (–4) × (–4)2 = (–4)1 + 2 = (–4)3c. Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat disederhanakan.d. 7a3 × b4 × 3a2 × b = 7a3 × 3a2 × b4 × b= 21a3 + 2b4 + 1= 21a5b5Sebuah persegipanjang memiliki ukuran panjang dan lebar berturut-turut 10a3 dan 4a3. Tentukan luas persegi- panjang tersebut.Jawab:Diketahui: sebuah persegipanjang dengan p = 10a3 dan l= 4a3Ditanyakan: luas persegipanjangPenyelesaian: L = p × l = 10a3 × 4a3 = 40a3 + 3 = 40a6Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 40a6kbContohSoal5.3iContohSoal5.4b. Sifat Pembagian Bilangan BerpangkatSelain sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat juga telah kamu pelajari. Coba ingat kembali materi tersebut dan jelaskan dengan kata-katamu sendiri.Misalnya, 55555555564=××××××6 faktor5555××4 faktor = 55×2 faktor = 56 – 4 = 52Jadi, 555546426==−. 4a310a3Agar kamu lebih memahami Sifat 5.1 , pelajarilah contoh soal berikut.Jika am × an= am + n, tentukan nilai am × an yang mungkin dari:a. am + n = 410b. am + n = (–12)7Cerdas Berpikir{{{
Pangkat Tak Sebenarnya77aaamnmn=−dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.Sifat5.2C. Sifat Perpangkatan Bilangan BerpangkatMasih ingatkah sifat perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari? Coba jelaskan kembali olehmu.Misalnya, (22)3 = 22222222()×()×()×()3faktor2fa aktor2 faktor2 fak××()××()22 22ttor(3 2) faktor222222××××××==Jadi, (22)3 = 22 × 3 = 23 × 2.Sederhanakan pembagian-pembagian berikut.a. 661210c. 9632 e. 24a8 : 12a3b. −()−()7783 d. −()×−()−()333432 f. 304548473pqpq××Jawab:a.6666121012 102==−b. −()−()=−()=−()−777783835c. Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, pembagian 9632 tidak dapat disederhanakan.d. −()×−()−()=−()−()=−()−()=−+3333333343243272(()=−()−7253e. 24a8 : 12a3 = 241283aa = 2a8 – 3 = 2a5f. 304541202084738473pqpqpqpq××= = 6p8 – 7q4 – 3 = 6pqnakan pemnakan peContohSoal5.5{{{{{
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX78(am)n = am × n = an × mdengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.Sifat5.3Sederhanakan perpangkatan-perpangkatan berikut.a. (54)2b. ()−()635c. 2225324×()d. −()×−()−()×−()333382734()()Jawab:a. (54)2 = 54 × 2 = 58b. ()−()=−()=−()×666353515c. 222222222222532456456411411 4×()=×====+−77d. −()×−()−()×−()=−()×−()−×333333382734827()()(()×−()=−()×−()−()×−()=−()×34814128333333+++−−()=−()−()=−()=−()1412 1221322 13933333anakan peanakan peContohSoal5.6d. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan BerpangkatPelajari penjumlahan bilangan berpangkat berikut.1. 24 + 26= 24 + 24 + 2 = 24 + 24 · 22 (menggunakan Sifat 5.1 ) = 24 (1 + 22) (menggunakan sifat distributif)Coba kamu pelajari contoh soal berikut.
Pangkat Tak Sebenarnya79an + am = an (1 + am – n)dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.Sifat5.4an – am = an(1 – am – n) atau am – an = an (am – n – 1)dengan a bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.Sifat5.52. (–5)6 + (–5)9 = (–5)6 + (–5)6+3 = (–5)6 + (–5)6 · (–5)3 (menggunakan Sifat 5.1 ) = (–5)6 (1 + (–5)3) (menggunakan sifat distributif)Kedua contoh tersebut memperjelas sifat penjumlahan bilangan berpang-kat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut.Diskusikan dengan teman sebangkumu, bagaimana sifat pengurangan bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokok yang sama. Laporkan hasilnya di depan kelas.Jika Tugas 5.1 kamu kerjakan dengan benar, diperoleh sifat pengurangan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut.Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan berikut.a. (–8)3 + (–8)5 c. a4 + a8b. 77 – 73 d. b10 – b7Jawab:a. (–8)3 + (–8)5 = (–8)3 + (–8)3+2= (–8)3 + (–8)3 · (–8)2= (–8)3 (1+ (–8)2)b. 77 – 73 = 74 + 3 – 73= 74 · 73 – 73= 73 (74 – 1)c. a5 + a6 = a5 + a5 + 1= a5 + a5 · a= a5 (1 + a)d. b12 – b8 = b8 + 4 – b8= b8 ·b4 – b8= b8 (b4 – 1)klhContohSoal5.72. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif dan NolPada bagian A.1, kamu telah mempelajari bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang. Misalnya, 23 merupakan bentuk sederhana dari 2 × 2 × 2. Sekarang, bagaimana cara menguraikan 2–3dan 20? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut dengan baik.Agar kamu lebih memahami Sifat 5.4 dan 5.5, pelajarilah contoh soal berikut.Tugas5.1
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX80a.Bilangan Berpangkat Bulat NegatifAmatilah Sifat 5.2 . Untukabilangan real danm, nbilangan bulat positif yangmemenuhim>n, berlakuaaamnmn=−Apa yang terjadi jika m<n? Jika m<n maka m – n merupakan bilanganbulat negatif. Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut.2222222212212224=××× ×=×=... (i)222224242==−−... (ii)Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa12222=−. Sekarang, coba kamu selesaikanpembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas.3377381112==......Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akanmemperjelas definisi bilangan berpangkat bulat negatif, yaitu sebagai berikut.Dengan menggunakan Definisi 5.2, kamu dapat mengubah bilanganberpangkat bulat negatif ke dalam bilangan bulat positif dan sebaliknya.1.Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.a. 3–5b. (–8)–4c.a–22.Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif.a.172b.126c.19aJawab:1.a.31355−=b.−()=−()−81844c.12a2.a.17722=−b.12266=−c.199aa=−iskan dalikdlContohSoal5.8Panjang gelombang sinar infra merah berkisarantara satu milimeterdan 750 nanometer. Satunanometer (1nm) adalah satu per satu miliar meter.Jika dilambangkan dengan bilangan, satu nanometerditulis1 nm =111000000000000000000... m = 10–9 mSumber:Ensiklopedia Iptek,Ensiklopedia Sains untuk Pelajar dan Umum, 2007SekilasMatematikaSumber:www.bnd.com.au5.2aann−=1dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan n bilangan bulat positif.
Pangkat Tak Sebenarnya81Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat positif berlaku juga untuk bilangan berpangkat negatif dengan a, b bilangan real dan m, n bilangan bulat negatif.b. Bilangan Berpangkat NolPerhatikan kembali bentuk berikut.aaamnmn=−Jika pada bentuk tersebut nilai m sama dengan nilai n maka m – n = 0 dan am – n merupakan bilangan berpangkat nol.Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut.333333991333333222222220::=××=====− ...(i) ...(ii)Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa 1 = 30. Sekarang, coba kamu selesaikan pembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas.22444477 ... ...=−()−()=Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akan memperjelas definisi bilangan berpangkat nol, yaitu sebagai berikut.Hitunglah perpangkatan-perpangkatan berikut.a. (5)0c. (25)0b. (12)0d. 34a2 b0Jawab:a. (5)0 = 1 c. (25)0 = 1b. (12)0 = 1 d. 34a2 b0 = 34a2 · 1 = 34a2ContohSoal5.9Sifat-sifat bilangan berpangkat positif dan negatif berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan m – n = 0.3. Bilangan Rasional Berpangkat Bulata. Bilangan Rasional Di Kelas VII, kamu telah mempelajari materi bilangan bulat. Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.Buatlah masing-masing tiga contoh untuk setiap sifatbilangan berpangkat negatif di buku latihanmu.Bandingkan hasilnya dengan temanmu.Tugas5.2Buatlah masing-masing tiga contoh untuk setiap sifatbilangan berpangkat nol di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.Tugas5.35.3a0 = 1dengan a bilangan real dan a ≠ 0.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX82Misalnya,......1112255772214263105== = = === == =−−=−=−=−=−=551102153255...Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebutbilangan rasional.Uraian tersebut memperjelas definisi bilangan rasional, yaitu sebagai berikut.Selain bilangan rasional,di dalam sistem bilangan juga terdapat bilangan irasional. Carilah informasimengenai bilangan irasional.Kamu dapat mencarinya di perpustakaan atau internet.Laporkan hasilnya di depan kelasTugas5.4b.Bilangan Rasional Berpangkat BulatPada bagian sebelumnya, kamu telah mampelajari bilangan bulat berpangkatbulat. Sekarang kamu akan mempelajari bilangan rasional berpangkat bulat.Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat berlaku juga padabilangan rasional berpangkat bulat. Coba kamu tuliskan dan jelaskan sifat-sifattersebut dengan kata-katamu.Hitunglah perpangkatan bilangan rasional berikut.a.233c.27272752×6b.454535+d.12233414256xxJawab:a.2323232323827333=× ×= =b.45454535+=+=++3323454545=324545.+32145ContohSoal5.105.4Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk abdengana,b bilangan bulat dan b ≠ 0.((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
Pangkat Tak Sebenarnya83c.27272752⎛⎝⎜⎠⎞⎟×==+6652272727=−76727276627=d.Pembagian ini tidak dapat disederhanakan. Mengapa? Jelaskan jawabanmu.1.Tuliskan dalam pangkat positif.a.123−b.347−c.abc−2.Tuliskan dalam pangkat negatif.a.1795b.1562c.1pqJawab:1.a.12−3=1123b.3413477=−c.ababcc=−12.a.1797955=−b.156562−2=c.1pqpqrr=−skan dalaskan dalaContohSoal5.112.Sederhanakan perkalian berikut.a.26× 27b.43× 42c.(–3)5× (–3) × (–3)7d.33× 44× 55e.s6×s7×s9f.3a2× 3a3g.8p4×ph.9a×a2×b× 3b3i.a4×b3×c2×dj.10p× 2q2× 8p53.Sebuah balok memiliki panjang 12a, lebar 4a, dan tinggi 8a. Tentukan luas permukaan dan volumebalok tersebut dalam a.Kerjakanlahsoal-soalberikut.1.a.Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat, kemudian tentukan bilangan pokok dan pang-katnya.1)4 × 4 × 4 × 42) 10 × 10 × 10 × 10 × 103)(–7) × (–7) × (–7)4)c×c×c×c×c×c×c5)(–y) × (–y) × (–y) × (–y) × (–y)b.Tuliskan perpangkatan berikut sebagai perkalian berulang. 1)23 4)26422)55 5)83a53)(–6)4Uji Kompetensi 5.1⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟⎠⎞⎟r
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX844.Sederhanakanpembagianberikut.a.2243f.785824pqrrb.5355g.56112ac. r
5557810h.100252517qqd.79 : 74i.23244681113bbbre. r
r
33331923257j.5213431013kmr@5.Sebuahtrapesiummemilikiluas54a2.Jikapanjangsisisejajarnyaberturut-turutadalah8adan10a,tentukantinggitrapesiumtersebutdalama.6.Sederhanakanperpangkatanberikut.a.(23)2b.() 546c.(33)5× (32)7d.() () r
8884349e.(910)9 : (97)8f.(m18)2 : (n6)4g.():() 4443624h.19192851147 r :( )pp7.Sebuahtabungmemilikijari-jari7b3.Jikatinggitabungtersebut15b3,nyatakanvolumetabungdalampdanp.8.Sederhanakanbentukpenjumlahandanpenguranganbilanganberpangkatberikut.a.32 + 36e.99 + 97b.55 + 512f.(–23)20 – (–23)13c.(–11)11 + (–11)25g.1517 – 1511d.p9 + p8h.(–a)28 – (–a)189.a.Tuliskanbentuk-bentukberikutdalambentukpangkatpositif,kemudiansederhanakan.1)7–34)8–3× 17–52)4–25)20p–5 : 10p–253)(–5)–5b.Tuliskanbentuk-bentukberikutdalambentukpangkatnegatif,kemudiansederhanakan.1)184)111111212r2)142 5)pppp111393rr3)196c.Hitungnilaipangkatberikut.1)604)5p0×12q02)1305)1535000rt3)(–20)010.a.Sederhanakanbentuk-bentukberikutdenganmenggunakansifatbilanganberpangkat.1)232349¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμr¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ2)¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμr
¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ676712103)4545118¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμ줦¥¥¥¥ ́¶μμμμ4)¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμr
¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμ줦9139139132312¥¥¥¥¥ ́¶μμμμ325)1225122523¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμ줦¥¥¥¥¥ ́¶μμμμμμr¤¦¥¥¥¥¥ ́¶μμμ줦¥¥¥¥¥ ́¶μμμμμ줦¥¥¥¥ ́¶μμμμ¤4341225¦¦¥¥¥¥¥ ́¶μμμμμμ4b.Tuliskandalambentukpangkatpositif.1)452¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ2)71910¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ3)¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ132317c.Tuliskandalambentukpangkatnegatif.1)1238¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ2)117206¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ3)1252615¤¦¥¥¥¥ ́¶μμμμ
Pangkat Tak Sebenarnya85B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan1. Pengertian Bentuk AkarDi Kelas VII, kamu telah mempelajari akar kuadrat suatu bilangan. Sekarang, kamu akan mempelajari bentuk akar. Sebelumnya, pelajari perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan berikut.4229331644222======Coba kamu tuliskan 5 contoh akar kuadrat bilangan lain di buku latihanmu.Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan yang telah kamu pelajari tersebut memenuhi definisi sebagai berikut.Sekarang, coba kamu periksa 3567, , , ,dan apakah memenuhi Definisi 5.5 atau tidak? Jika kamu memeriksanya dengan benar maka bentuk-bentuk tersebut tidak memenuhi Definisi 5.4. Akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi definisi tersebut dinamakan bentuk akar. Jadi, 3567, , , danmerupakan bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 3, 5, 6, dan 7.Manakah yang merupakan bentuk akar? Berikan alasannya.a. 64c. 49 e. 28b. 40d. 36 f. 55Jawab:a. 64 bukan akar karena 64882==.b. 40adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 40.c. 49 bukan bentuk akar karena 49772==.d. 36 bukan bentuk akar karena 36662==.e. 28 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 28.f. 55 adalah bentuk akar. Mengapa? Coba tuliskan alasannyahContohSoal5.12Simbol radikal (akar) "" dikenalkan pertama kali oleh matematikawan di dalam bukunya Die Coss. Simbol tersebut ia pilih karena mirip dengan huruf " r " yang diambil dari kata radix, bahasa latin untuk akar pangkat dua.Sumber: Finite Mathematics and Its Applications,1994SekilasMatematika5.5aa2= dengan a bilangan real positif.
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX862. Sifat-Sifat dan Menyederhanakan Bentuk AkarSebuah bentuk akar dapat dituliskan sebagai perkalian dua buah akar pangkatbilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.153 535244 6462 65025 22525 2=×=×=×=×==×=×=Ketiga contoh di atas memperjelas sifat berikut.abab=×dengana dan b bilangan real positif.Sifat5.6abab=dengana≥ 0 dan b > 0.Sifat5.7Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.a.12b.20c.35Jawab:a.124 3432 3=×= × =b.204 5452 3=×= × =c.355 757=×= ×Sekarang, pelajari contoh berikut.4646262536253656595953======Contoh-contoh tersebut memperjelas sifat berikut.kbContohSoal5.13Jika diketahui 257160,,=dan257507,,=maka nilai 2570.adalah ....a.16c.160b. 50,7d. 507Jawab:Diketahui257160,,=dan257507,,=2.750 = 27,50 100 sehingga2570257010022557711000050710507.,,,,,====Jawaban: b Soal Ebtanas, 2000SolusiMatematika××××
Pangkat Tak Sebenarnya87Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.a. 216b. 910c. 81100Jawab :a. 21621624==b. 910910310==c. 8110081100910==Perhatikan gambar berikut.Jawab:Diketahui : AB = 6 cm dan AC = 3 cmDitanyakan : Panjang BCPenyelesaian: Gunakan Teorema Pythagoras,BC=+=+=+==×=×=ABAC22226336945959535Jadi, panjang BC = 35 cmTentukan panjang BC.CAB6 cm3 cmnakan bennakan benContohSoal5.14ContohSoal5.15Hasil dari 0 0625, + 0,022adalah ....a. 0,029 c. 0,2504b. 0,065 d. 0,29Jawab:006256251000062510000,..== =25100025=,(0,02)2 = 210100021002222ÊËÁÁÁËËËˈ ̄ ̃= = 441000000004.,=Jadi, 0006062255, + (0,02)2= 0,25 + 0,0004= 0,2504Jawaban: c Soal UN, 2006SolusiMatematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX883. Operasi Aljabar pada Bentuk Akara. Penjumlahan dan Pengurangan Pelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut.ii23 33 2 3 3538 711 7+=+()=+==+()=811719 7ii75 45 7 4 53523 61−=−()=−22 623 12611 6=−()= Contoh-contoh tersebut menggambarkan sifat-sifat berikut.ac bc a b c+=+()dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0.Sifat5.8ac bc a b c−=−()dengan a, b, c, bilangan real dan c ≥ 0.Sifat5.9Hitunglah:a. 43 83+c. −+5 212 8b. 13 529 5+ d. 15 725 7−Jawab:a. 43 83 4 8 3 123+=+()=b. 13 529 513 29542 5+=+()=c. −+=− + ×=−+×=−+5 212 85 212 4 252 124 25 224 2=− +()=524 219 2d. 15 725 715 25710 7−=−()=−hContohSoal5.16Dapatkah kamu menjumlahkan 56 65+? Jelaskan alasannya.Problematika
Pangkat Tak Sebenarnya89p a q bpq ab×=dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.Sifat5.10paqbpqab=dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.Sifat5.11b. Perkalian dan PembagianPerhatikan kembali Sifat 5.6 . Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian bentuk akar seperti berikut.23 23 65105 10505 223 47 2 4 3 7 821×= ×=×=×= =×=×××=Uraian tersebut menggambarkan sifat perkalian bentuk akar sebagai berikut.Sekarang, perhatikan Sifat 5.7. Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan pembagian bentuk akar berikut.36361257578212 3812232323=====Uraian tersebut menggambarkan sifat pembagian bentuk akar sebagai berikut.Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk akar berikut.a. 115×c. 728b. 8 3 24 12×d. 10 852Jawab : a. 11511 555×= ×=b. 8 3 24 128 3 24 4 38 3 48 38 483 31 152×=××=×=× × × =.hilhilContohSoal5.17www.nimasmultima.co.idwww.geocities.comididSitus Matematika
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX90c. 7287281412===d. 10 85210 4 25220 2524=×==4. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari bilangan rasional. Masih ingatkah kamu tentang materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata-katamu sendiri.Di dalam matematika, selain bilangan rasional, terdapat bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ab dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalahbentuk akar, misalnya 235,, dan. Pecahan yang penyebutnya bentuk akarjuga termasuk bilangan irasional, misalnya 12132513106,,,+−, dan lain-lain.Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Caranya yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan-pecahan tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawan penyebutnya. Secara umum, pecahan yang penyebutnya bentuk akar yang dapat dirasionalkan adalah abcabcab,, ±±dan dengan a, b, dan cbilangan real. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.a. Merasionalkan Bentuk abCara merasionalkan bentuk ab adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu : ababbbabbabb===.Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah.a. 45b. −67 c. 36kContohSoal5.18
Pangkat Tak Sebenarnya91Jawab:a. 454555455455===.b. −=−=−=−676777677677.c. 363666186926326122===×==.b. Merasionalkan Bentuk ca± bUntuk pecahan bentuk cab±, cara merasionalkannya adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan ab±. Bentuk sekawan dari ab+ adalah ab–, sedangkan bentuk sekawan dari ab–adalah ab+.cabcabababcabaabab bcab+=+−−=−()−+ −()=−().22aab2−Sekarang, coba kamu rasionalkan bentuk cab− dengan cara yang sama. Bagaimanakah hasilnya ?Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.a. 362+b. −−456Jawab :a. 36236262623623623623433462+=+−−=−()−=−()=−.(()b. −−=−−++=−+()−=−+()=−456456565645625 6456194.11956+()c. Merasionalkan Bentuk ca± bSama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk cab±adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawandari ab±. Bentuk sekawan dari ab+ adalah ab–, sedangkan bentuk sekawan dari ab– adalah ab+.ContohSoal5.19
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX92cabcabababca ba+=+−−=−()()2−−()()+()()−()=−()abab bca b2aab−Dengan cara yang sama, rasionalkancab−. Bagaimanakah hasilnya?Rasionalkan penyebut pecahan 852+.Jawab:852852525285 2528352+=+−−=−()−=−().5. Bilangan Berpangkat PecahanPerhatikan kembali Definisi 5.1. Definisi tersebut menyatakan bahwa bilanganberpangkatandidefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyaknfaktor.Misalnya, 22= 2 × 2. Sekarang, bagaimana dengan212? Untuk mengetahuidefinisi pangkat pecahan, pelajari uraian berikut.(i) 9a= 3. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan a hasilnyasama dengan 3. Berapakah nilai a?Oleh karena 9a = 33333221maka()==aaIni berarti 2a = 1 atau a=12 sehingga 9312=.Oleh karena 9399 312===maka.(ii)9b= 27. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan b hasilnyasama dengan 27. Berapakah nilai b?Oleh karena 9273 3332323bbb=()==makaIni berarti 2b = 3 atau b=32 sehingga 92732=.Oleh karena 9279927232323===maka.Uraian (i) dan (ii) memperjelas definisi bilangan berpangkat pecahan,yaitu sebagai berikut.ContohSoal5.20Tentukan nilai dari6323232+++.Problematika
Pangkat Tak Sebenarnya931. Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar. a. 312b. 732c. 6722. Ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. a. 6b. 93c. 1524Jawab :1. a. 3312=b. 77323=c. 66727=2. a. 6612=b. 99313=c. 151515242412==Sederhanakan bentuk-bentuk pecahan berikut.a. 221212×c. 41274b. 558363d. 33312321−−−×Jawab:a. 22 22 2 212121212221×== = =+b. 55558363836323==−c. 4441274127478==×d. 3333333123211232142−−−−+−−−×==−−−−==−−()1421331Sifat-sifat yang berlaku untuk bilangan berpangkat bulat berlaku juga untuk bilangan berpangkat pecahan. Coba kamu tuliskan sifat-sifat tersebut dengan contoh-contohnya di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan teman-temanmu.ContohSoal5.21nakan benkbContohSoal5.22Tentukan nilai dari 271452322+-.Problematika5.6aaaamnmnmnmn== atau dengan a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat positif.((((((((
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX946. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 52cm. Jika tinggi kerucut tersebut 18 5cm, tentukan volume kerucut tersebut.7. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.a. 35 e. 1052−b. 157 f. 2535+c. 2266 g. 15118−d. 16 100132+ h. 25 2325 23+−8. Panjang diagonal sebuah persegi 20 cm. Tentukan panjang sisi persegi tersebut.9. Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. a. 3 e. 10b. 52 f. 1523c. 1653 g. 235d. 1224 h. 404610. Sederhanakan bentuk pangkat pecahan berikut.a. 27271323× e. 28214()b. 11114567× f. 1923916c. 22213312× g. 3612d. 66911711: h. 8114−Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.a. 32 e. 925b. 27 f. 48125c. 75 g. 121441d. 245 h. 3201 000.2. Sebuah persegi ABCD memiliki panjang sisi a cm. Tentukan panjang diagonal AC dalam a.3. Diketahui segititiga siku-siku PQR seperti pada gambar berikut.4. Tentukanlah hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut.a. 11 210 2+ e. 28 11 10 11−b. 23 65 6+ f. 719 219−c. −+15 37 3 g. −−2929d. 595+ h. −−32 33335. Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk akar berikut.a. 52× e. 182b. 213 9× f. 2025c. 6512+() g. 244592×d. 2323+()−() h. 732628 727×RPQTentukan panjang PQ.10 cm15 cmUji Kompetensi 5.2((
Pangkat Tak Sebenarnya95• Bilangan berpangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat bulat positif.• Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif adalah sebagai berikut. - am × an = am + n dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif. - aaamnmn=− dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n. - (am)n = am × n = an × m dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. - an + am = an (1+ am – n) am – an = an(am – n – 1) dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.Rangkuman• Bilangan berpangkat tak sebenarnya terdiri atas bilangan berpangkat bulat negatif, berpangkat nol, dan berpangkat pecahan.• Bilangan berpangkat pecahan dapat diubah menjadi bentuk akar, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut. - abab=×dengan a dan b bilangan real positif. - abab= dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. - acbc a bc±=+() dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0. - paqbpq ab×= dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. - paqbpqab= dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.Pada bab Pangkat Tak Sebenarnya ini, bagian manakah menurutmu yang paling menarik untuk tdipelajari? Mengapa?Materi apa sajakah yang belum dan telah kamu kuasai dengan baik?tKesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari bab ini?t
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX96Peta KonsepBilangan BerpangkatPangkat SebenarnyaPangkat Bulat Positifaaaaaaaaaaamnmnmnmnmnmnnmnmn×====+=+×mm×nn–()(1++=−aaaaamnmnnmn––)()1Pangkat Bulat NegatifPangkat Nola0 = 1a bilangan real dan a ≠ 0a–n=1ana bilangan real, a ≠ 0, dan bilangan bulat positifPangkat PecahanBentuk Akarababababacbcabcpaqbpqabpaqbpqab=×=±=±×==()Pangkat Tak Sebenarnyayaitusifatdefinisidefinisiterdiri atasterdiri atassifatdapat diubah menjadi
Pangkat Tak Sebenarnya97A. Pilihlah satu jawaban yang benar.1. Pernyataan yang salah mengenai a5 adalah ....a. bilangan pokok = ab. pangkatnya adalah 5c. dapat ditulis a × a × a × a × ad. eksponennya adalah a2. Bentuk sederhana dari 4a5×16a adalah ....a. 8a2 c. 3a5b. 64a6 d. 16 a53. Sebuah kubus memiliki sisi 3p satuan. Perbandingan luas permukaan dengan volumenya adalah ....a. 3 : 6pc. 15 : 9pb. 8p : 5 d. 22p : 184. Bentuk −()×−()−()222839 jika disederhanakan menjadi ....a. (–2)2 c. (–2)0b. b–3 d. (–2)125. Jika a – b = –1, nilai dari (a – b)10 dan (b – a)13adalah ....a. 1 dan 1 c. 1 dan –1 b. –1 dan 1 d. –1 dan –16. Nilai dari bbb958: adalah ....a.b–4 c. b6b. b–3 d. b77. Penjumlahan (162)3 + (164)3 sama dengan ....a. 166 (1 + 166) b. 162 (1 + 163)c. 166 (163 + 1)d. 163 (162 + 1)8. Nilai dari 80a5b0c2 adalah ....a. a5c2 c. 80a4bc2b. a5 d. 80a5c29. Bentuk 5–4 × 5–10 jika dinyatakan dalam bentuk pangkat positif menjadi ....a. 514 c. 1514b. 154 d. 1151410. 25382512×1412253316= ...a. 25316 c. 2519b. 2514 d. 251811. Bentuk sederhana dari 80 adalah ....a. 45 c. 810b. 85 d. 41012. Diketahui panjang dan lebar sebuah persegipanjang berturut-turut adalah 9 cm dan 5 cm. Panjang diagonal persegipanjang tersebut adalah ....a. 53cm c. 15 2cmb. 10 6cm d. 20 cm 13. −−=8 13 10 13...a. −2 13 c. −12 13b. −8 13 d. −18 1314. 38 7 9−()= ...a. −13 3 c. 3b. −3 d. 15 315. 202723×= ...a. 23 c. 235b. 59 d. 593Uji Kompetensi Bab 5((((((((((((((((((
Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX9816. 8562 710×= ...a. 421 c. 121b. 221 d. 32117. Bentuk rasional dari 825+ adalah ....a. −−()825b. −−()8253c. 825−()d. 8253−()−18. Bentuk 64243pq jika dinyatakan dalam pangkat pecahan menjadi ....a. 81343pq c. 41343pqb. 82343pq d. 42343pq19. 11r5 : 11r4 = ...a. 11 c. 11rb. r d. r220. 131413142145215321315()×()×=43...a. 13 141256 c. 13 1412115b. 1425 d. 1456B. Kerjakanlah soal-soal berikut.1. Nyatakanlah dalam bentuk yang paling sederhana.a. 85 × 84 × 8–2b. ()()()−×−−22291017c. ppppp59 16410×××−−d. 2252pq×−2. Jika p = q + 1, tentukanlah nilai dari ()()()pqq ppq−×−−1075.3. Tentukan nilai x.a. 35 = 13xb. 25526=xc. (14–2)3 = 196xd. 12552=x4. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, sederhanakanlah.a. 25b. 1115−5. Tentukan keliling sebuah persegi yang memiliki sisi 131+ cm.((((((((((((((((((